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Cómo encajan las técnicas de sudoku
El catálogo de sudokUI recoge 80 técnicas. Por debajo de todas ellas hay tres ideas y una promesa que hace el propio sudoku. Aprende las ideas y cada nombre se convertirá en una forma nueva de algo que ya conoces. Aquí cada idea se explica dos veces: una con rigor, y otra como se la explicarías a un niño de 12 años.
La única regla
Dos hechos en una regla
Exactamente una vez son dos promesas. Al menos una vez: si a un número solo le quedan dos sitios en una unidad, va en uno de ellos. Como mucho una vez: dos candidatos del mismo número en casillas que se ven, porque comparten fila, columna o caja, no pueden ser verdaderos los dos. Una casilla hace las mismas dos promesas: contiene al menos un número, y como mucho uno.
Cuando quedan exactamente dos opciones, dos sitios para un número en una unidad o dos candidatos en una casilla, al primer tipo de hecho, el de al menos una vez, se le llama enlace fuerte; el segundo tipo, el de como mucho una vez, es un enlace débil. Casi todas las técnicas de este sitio, desde el Único oculto hasta la Forcing Net, combinan estos dos hechos hasta descartar un candidato o forzar un número. Solo las técnicas de unicidad añaden un hecho propio, como verás más abajo.
Hay dos maneras de hacer la pregunta. Pregúntale a una casilla qué números puede contener todavía, o pregúntale a un número dónde puede ir todavía dentro de una unidad. La primera manera encuentra los patrones desnudos; la segunda, los ocultos, y los buenos jugadores pasan de una a otra sin pensarlo.
Conjuntos bloqueados: lo que tiene que caber
Únicos: una cosa, un sitio
Un Único desnudo es una casilla a la que le queda un solo candidato: un sitio, un número. Un Único oculto es un número al que le queda un solo sitio en una unidad. Son los conjuntos bloqueados más pequeños que existen, vistos desde las dos direcciones: pregúntale a la casilla o pregúntale al número. Un Full House, la última casilla vacía de una unidad, es las dos cosas a la vez.
Subconjuntos: dos, tres o cuatro a la vez
Ahora amplía la idea del único. Si dos casillas de una unidad solo pueden contener los mismos dos números, esos números se gastan ahí, así que ninguna otra casilla de la unidad puede tenerlos: es un Par desnudo. Si dos números solo pueden ir en las mismas dos casillas de una unidad, esas casillas quedan ocupadas, así que no pueden contener nada más: es un Par oculto. Los tríos y los cuartetos funcionan igual.
Desnudo y oculto son dos descripciones de un mismo hecho. En una unidad con siete casillas vacías, un trío desnudo deja las otras cuatro casillas para los otros cuatro números, y esas cuatro casillas son un cuarteto oculto. Por eso tampoco hace falta nunca un quinteto desnudo u oculto: su otra cara siempre es de cuatro o menos.
Donde una caja se cruza con una línea
Una caja y una fila comparten tres casillas. Si todos los candidatos de un número en la caja están en esa intersección, la caja colocará el número ahí, así que el resto de la fila no puede tenerlo: son los Candidatos bloqueados (puntero). Si intercambias los papeles, tienes los Candidatos bloqueados (reclamante): una fila cuyos candidatos para un número están todos dentro de una caja elimina ese número del resto de la caja. Con las columnas funciona igual.
Es el conjunto bloqueado más pequeño entre dos unidades: una unidad obligada a colocar su número dentro de otra. Un Par bloqueado es un par desnudo situado en la intersección, así que sus dos números desaparecen del resto de ambas unidades a la vez.
Peces: un número, muchas filas
Ahora sigue un solo número por toda la cuadrícula. Si en dos filas el número solo puede ir en las mismas dos columnas, las dos filas se repartirán esas dos columnas, una cada una, así que ninguna otra casilla de esas columnas puede ser ese número: es un X-Wing. Tres filas en tres columnas es un Swordfish, y cuatro en cuatro, un Jellyfish. En un Swordfish una fila puede tener dos sitios o tres; lo que importa es que todos caigan en las mismas tres columnas.
Reduce un X-Wing a una fila y una columna y obtienes un Único oculto: una fila donde el número solo cabe en una columna. Así que un Único oculto es en realidad un pez de tamaño 1, un X-Wing un pez de tamaño 2 y un Swordfish un pez de tamaño 3, y las filas y las columnas pueden intercambiar los papeles. Los Candidatos bloqueados, puntero y reclamante, también son peces de tamaño 1, con una caja en uno de los lados. Nunca hace falta un pez de más de cuatro, porque un pez en cinco filas siempre viene acompañado de otro más pequeño en las columnas, igual que un quinteto desnudo viene con un subconjunto oculto de cuatro o menos.
El mismo truco, visto de lado
Imagina el sudoku como un cubo cuyas tres direcciones son las filas, las columnas y los números. La cuadrícula habitual muestra filas frente a columnas. Gira el cubo y verás, en cambio, filas frente a números. Para un número concreto, anota para cada fila las columnas donde todavía puede ir. Cada fila se convierte en una pequeña casilla cuyos candidatos son números de columna, y las nueve filas se comportan como una unidad: cada número de columna pertenece exactamente a una de ellas.
Ahora un X-Wing son dos de esas casillas con los mismos dos números de columna: un Par desnudo. Un Swordfish es un Trío desnudo, y un Jellyfish, un Cuarteto desnudo. Girado de otra manera, el cubo muestra un par desnudo como un par oculto. Todo pez de filas y columnas sin aleta es un subconjunto disfrazado, y todo subconjunto en una fila o columna también es un pez disfrazado; un subconjunto dentro de una caja, o un pez que usa una caja, no tiene ese gemelo, porque una caja no es una de las direcciones del cubo.
Aletas, y peces con cajas
Un pez con aletas es un pez con unos pocos candidatos de más, la aleta, agrupados en una sola caja. O el pez es real o la aleta tiene el número, así que una casilla de las columnas del pez, fuera de sus filas, que vea todas las casillas de la aleta pierde el número en cualquier caso. Un pez Sashimi es un pez con aletas en el que a la fila de la aleta, sin su aleta, solo le quedaría un sitio. Los peces Franken permiten que las cajas hagan de filas o de columnas.
O esto o aquello: así piensan las cadenas, y las cadenas vienen más adelante. Un pez con aletas es el primer sitio de esta página donde se encuentran un conjunto bloqueado y una cadena.
Casi bloqueados: uno de más
Conjuntos casi bloqueados
Un conjunto casi bloqueado son N casillas de una unidad que tienen entre todas N+1 números. Quita cualquiera de esos números y las casillas forman un conjunto bloqueado con los restantes. El más pequeño es una sola casilla bivalor: una casilla, dos candidatos.
Eso convierte cada conjunto casi bloqueado en un interruptor. Si uno de sus números resulta imposible, el conjunto queda bloqueado y coloca todos los demás.
Subconjuntos doblados: los wings
Pon un trío desnudo en una fila y queda bloqueado. Dóblalo por una esquina, de modo que las tres casillas queden en dos unidades, y casi sigue funcionando. Eso es un XY-Wing o un XYZ-Wing: tres casillas, tres números, doblados. Cuatro casillas y cuatro números forman un WXYZ-Wing, un cuarteto doblado, y cinco forman un VWXYZ-Wing, un quinteto doblado.
Por qué funciona: en un subconjunto doblado, todos los números menos uno tienen sus candidatos en casillas que se ven todas entre sí, así que cada uno puede usarse como mucho una vez. Solo un número, Z, podría repetirse, porque sus casillas no se ven todas entre sí. Sin Z, las casillas necesitarían tantos números distintos como casillas hay, pero solo dispondrían de un número menos. Eso es imposible, así que Z está en el patrón, y cualquier casilla que vea todos los Z del patrón pierde Z.
El XY-Wing y el XYZ-Wing solo se diferencian en si la casilla central, el pivote, también contiene Z. Si la contiene, las casillas de las que se elimina Z también tienen que ver el pivote.
ALS-XZ: el padre de todos los wings doblados
Toma dos conjuntos casi bloqueados sin ninguna casilla en común, que contengan los dos los números X y Z. Si todos los X del primer conjunto ven todos los X del segundo, como mucho un conjunto puede tener X, así que al menos un conjunto se queda sin él. Un conjunto sin X queda bloqueado con sus otros números, Z entre ellos. Por tanto, al menos uno de los dos conjuntos coloca Z, y Z se puede eliminar de cualquier casilla que vea todos los Z de ambos conjuntos.
Cada wing doblado del catálogo es esta regla con uno de los conjuntos formado por una sola casilla bivalor: un XY-Wing es una casilla bivalor más un conjunto de dos casillas, y un WXYZ-Wing, una casilla bivalor más un conjunto de tres casillas. Por eso algunas guías, sudoku.coach entre ellas, llaman ahora a los wings más grandes simplemente ALS-XZ, y por eso sudokUI encuentra un wing de cinco casillas con esa forma como ALS-XZ.
A partir de ahí la idea crece. El ALS-XY-Wing es un XY-Wing cuyas tres casillas se han convertido en conjuntos, el Death Blossom le da a cada candidato de una casilla un conjunto propio, y el Sue de Coq reparte las casillas abarrotadas del cruce entre una caja y una línea: una parte va a un conjunto del resto de la línea y otra a un conjunto del resto de la caja.
No todos los wings están doblados
El W-Wing comparte el nombre, pero no la idea. Son dos casillas bivalor idénticas unidas por un enlace fuerte en uno de sus números, lo que lo convierte en una cadena corta y no en un XYZ-Wing más grande. La W no significa una letra más.
Cadenas: si no es esto, es aquello
Enlaces fuertes y débiles
Un enlace fuerte une dos candidatos de los que al menos uno es verdadero: un número al que le quedan dos sitios en una unidad, o una casilla con dos candidatos. Un enlace débil une dos de los que como mucho uno es verdadero: dos candidatos de un mismo número que se ven, o dos candidatos de una misma casilla. Una cadena los alterna, y empieza y termina con un enlace fuerte. Si este extremo es falso, el siguiente es verdadero, así que el de después es falso, y así sucesivamente.
Cuando una cadena empieza y termina en el mismo número, uno de sus dos extremos es verdadero, así que cualquier casilla que vea los dos extremos pierde ese número. Cuando una cadena se cierra en un bucle cuyos enlaces alternan en toda la vuelta, cada enlace débil del bucle puede eliminar candidatos por su cuenta.
Cadenas de un solo número: kites, skyscrapers y turbots
Una cadena que sigue un solo número es una X-Chain. Su forma útil más corta son dos enlaces fuertes unidos por uno débil, cuatro candidatos en total, y sus formas tienen nombre propio: un Skyscraper cuando los dos enlaces fuertes son paralelos, un 2-String Kite cuando uno va a lo largo de una fila y el otro a lo largo de una columna y se encuentran en una caja, y un Turbot Fish para las demás formas.
Un X-Wing es esa cadena cerrada en un bucle, y un Empty Rectangle divide los candidatos de una caja en un grupo de fila y un grupo de columna, de los que al menos uno contiene el número. Las cadenas más largas de un solo número también son X-Chains, y los bucles son X-Cycles.
Coloreado: dos mundos
Empieza por un candidato de un número y sigue sus enlaces fuertes hacia fuera, coloreando alternativamente con dos colores. Todo lo que alcances es un clúster, y en él un color es verdadero por completo y el otro falso por completo; solo que todavía no sabes cuál. Si un color pusiera el número dos veces en una unidad, ese color es falso. Si una casilla ve los dos colores, pierde el número gane el color que gane. Un clúster separado necesita sus propios colores.
Simple Colors muestra de una sola vez un clúster entero de enlaces fuertes, así que encuentra todas las X-Chains construidas solo con los enlaces de ese clúster. Multi Colors une dos clústeres, y 3D Medusa colorea a través de todos los números a la vez.
Cadenas de pares
Una casilla bivalor es un enlace fuerte dentro de una casilla: si no es un número, es el otro. Salta de una casilla bivalor a otra casilla bivalor que la vea, a través de un número que compartan, y sal de cada casilla por su otro número: eso es una XY-Chain. Su versión de tres casillas vuelve a ser el XY-Wing, y así un mismo patrón puede ser a la vez un wing, un subconjunto doblado, un par de conjuntos casi bloqueados y una cadena. Un Remote Pair es una XY-Chain cuyas casillas tienen todas los mismos dos números.
Una cadena para unirlas a todas
Una AIC, o cadena de inferencias alternas, admite todos los tipos de enlace a la vez: un número a lo largo de una unidad, dos números en una casilla, un grupo de candidatos en una caja, incluso un conjunto casi bloqueado entero. La mayoría de los patrones con nombre son AIC cortas o bucles: entre ellos, el X-Wing, el Skyscraper, el XY-Wing, el W-Wing y el ALS-XZ. Un Nice Loop es lo mismo escrito como bucle.
Las cadenas forzadas son el último paso antes de adivinar. Supón un candidato y sigue todas sus consecuencias, y luego haz lo mismo con las alternativas. Si todas las ramas coinciden en algo, eso es verdadero, y si una rama acaba en una contradicción, la suposición de la que partía era falsa. Son potentes, pero no tienen una forma que buscar, y por eso sudokUI las reserva para los sudokus más difíciles.
La promesa: una sola solución
Patrones mortales
Cuatro casillas en dos filas, dos columnas y dos cajas que solo pudieran contener los mismos dos números serían una trampa: los dos números podrían intercambiar sus posiciones y las dos versiones encajarían. Eso son dos soluciones, así que un sudoku con una sola solución nunca acaba así. Si tres esquinas del rectángulo solo contienen 1 y 2 y la cuarta contiene 1, 2 y 5, la cuarta tiene que ser 5. Eso es un Rectángulo único. El BUG+1 usa la misma promesa con una trampa que cubre toda la cuadrícula, y los Rectángulos evitables, con rectángulos cuyas esquinas incluyen números que has colocado tú.
Estas técnicas solo son válidas cuando el sudoku tiene de verdad una sola solución. sudokUI solo acepta sudokus que la tienen, así que aquí siempre son seguras.
Lo que hay debajo de todo
Verdades y enlaces
La lógica de conjuntos de Allan Barker lo describe casi todo de una vez. Una verdad es un grupo de candidatos de los que exactamente uno es verdadero: los candidatos de una casilla, o los sitios de un número en una unidad. Un enlace es un enlace débil extendido a todo un grupo: de todos sus candidatos, como mucho uno es verdadero. Si N verdades que no comparten ningún candidato están cubiertas por N enlaces, las verdades ocupan todos los enlaces, así que cualquier otro candidato de esos enlaces es falso. Todos los conjuntos bloqueados y todos los peces sin aleta son esa única regla.
Permite que haya un enlace más que verdades y obtienes las cadenas, los peces con aletas y los wings, en los que un candidato cae solo si está en dos de los enlaces a la vez. La mayoría de los nombres de técnicas son formas breves de decir dónde están las verdades y los enlaces.
Por qué los nombres son un lío
Primero fue el X-Wing
Ya en junio de 2005, un habitual de un foro contaba X-Wing y Swordfish entre los pocos nombres en los que estaban de acuerdo la mayoría de los jugadores, y nadie en aquel hilo sabía decir quién los había acuñado. El pez de dos filas ya se conocía y tenía nombre antes de que los jugadores vieran que con tres o cuatro filas también funciona, así que la familia se bautizó a partir de él: Swordfish, Jellyfish, y después Squirmbag, Whale y Leviathan para tamaños que nadie necesita. Por eso el X-Wing es un pez y no un wing.
Squirmbag no gustaba, y hacia finales de 2005 los jugadores proponían Starfish en su lugar. Lo más probable es que la X represente la forma diagonal de las cuatro esquinas. El caza de Star Wars y el biplano Fairey Swordfish son historias populares sin una fuente conocida, así que tómalas como folclore.
Letras que cuentan números
En los wings, las letras casi cuentan números. El XYZ-Wing, el WXYZ-Wing y el VWXYZ-Wing usan tres, cuatro y cinco números, así que como subconjuntos doblados son un trío, un cuarteto y un quinteto. El XY-Wing también usa tres números, un trío doblado como el XYZ-Wing, pero sus letras solo nombran los dos de su pivote. El Y-Wing no es una técnica distinta ni más nueva. Nació en 2005 como abreviatura de XY-Wing en los foros, y los dos nombres se siguen usando. Los wings más grandes, de VWXYZ en adelante, también tienen nombre, pero se encuentran como ALS-XZ, la regla de la que vienen, y algunas guías ya solo usan ese nombre.
El W-Wing se sale de la norma: es una cadena, y su W no cuenta nada.
Nombres que enseñan
El 26 de diciembre de 2005, un usuario llamado Havard publicó en un foro el Skyscraper y el 2-String Kite, aunque admitía que los dos eran Turbot Fish. Otro habitual preguntó por qué una técnica que ya existía necesitaba nombres nuevos, y enumeró diez nombres que ya se usaban para la misma familia. Havard respondió que los nombres ayudan a recordar el patrón. Ganaron los nombres que describen formas, porque enseñan mejor.
Se suele decir que el Sue de Coq debe su nombre al apodo en el foro del jugador que lo publicó por primera vez, como Two-Sector Disjoint Subsets. A 3D Medusa le puso el nombre el propio Bob Hanson: una vista tridimensional le hizo pensar en Medusa y su cabellera.
Cómo cambió la forma de resolver
Las técnicas llegaron como trucos sueltos con nombres sueltos, y la teoría que las une vino después. Ese orden es la razón de que el catálogo parezca un zoológico.
- Mediados de 2005
- X-Wing y Swordfish ya son nombres habituales, y en un foro de programadores tienen nombre los peces de hasta cinco filas.
- Otoño de 2005
- Los nombres aún no están asentados: un jugador llama Swordfish a todo pez de tres o más filas, y otro dice que encontró el X-Wing por su cuenta y lo llamó rectángulo. El Sue de Coq se publica como Two-Sector Disjoint Subsets.
- Noviembre de 2005
- El principio BUG: si cada casilla sin resolver tiene dos candidatos y cada candidato aparece dos veces en cada unidad, la cuadrícula no puede tener exactamente una solución.
- Diciembre de 2005
- El Skyscraper y el 2-String Kite reciben su nombre. 3D Medusa, el coloreado de Bob Hanson a través de todos los números, ya es uno de los nombres en uso.
- Enero de 2006
- Un habitual de un foro resume lo que los jugadores venían notando: el XY-Wing no es más que una cadena forzada corta, y el X-Wing y el Turbot Fish son X-Cycles.
- Hacia 2006 y 2007
- Una guía de peces publicada en un foro trata las cajas (peces Franken y mutantes) y los peces Kraken, y el Empty Rectangle está en uso.
- Desde entonces
- Se imponen las ideas que unifican: los conjuntos casi bloqueados muestran que los wings doblados son una sola regla, la lógica de conjuntos muestra que los peces, los subconjuntos y las cadenas son una sola idea de recuento, y la puntuación de Sudoku Explainer se convierte en la vara de medir común de la dificultad.
Ganar velocidad
Difícil de ver no es difícil de entender
Sudoku Explainer puntúa el Par desnudo con 3,0, el X-Wing con 3,2 y el Par oculto con 3,4, aunque en una fila o columna los tres son un mismo patrón visto desde lados distintos. Al Turbot Fish le da 6,6, y aun así otras guías, HoDoKu entre ellas, lo enseñan pronto. Las puntuaciones miden lo difícil que es ver un patrón, no lo profundo que es. Cuando conoces la idea, un patrón nuevo deja de ser algo que memorizar y se convierte en algo conocido en un sitio nuevo.
Así que recorre la cuadrícula por ideas, no por nombres. Primero cuenta: únicos. Luego busca bloqueos: pares y tríos en una unidad, un número encerrado en la intersección de una caja y una línea, un número que se alinea en las mismas columnas a lo largo de varias filas. Luego busca casi bloqueos: las casillas bivalor son el conjunto casi bloqueado más pequeño y el punto de partida de todo wing y de toda XY-Chain. Luego sigue los enlaces: un número con dos sitios en una unidad es un enlace fuerte esperando a que lo encadenen.
La pestaña Cómo resolver muestra el orden que siguen en realidad los mejores jugadores, y el modo de práctica te pone delante la mayoría de las técnicas, de una en una, justo como tu siguiente jugada.